Delers en factoren
Delers en factoren
Klik hier om de inleiding te verbergen
Al bijna 60 jaar houd ik me bezig met delers en factoren.
Toen ik de tafels van vermenigvuldiging leerde ging er een wereld open. Dat kwam vooral door de wetmatigheden:
- Elk antwoord in tafel van 2 eindigde op een even cijfer
- In de tafel van 5 was het nog strikter: alleen 0 en 5
- In de tafels van 3 en 9 moest je de cijfers optellen: de uitkomst was weer deelbaar door 3 en 9
- Voor de tafel van 4 had ik iets ingewikkelds bedacht:
* Eindigde het antwoord op 0, 4 of 8, dan was het voorlaatste cijfer even (of afwezig)
* Eindigde het antwoord op 2 of 6, dan was het voorlaatste cijfer oneven
Toen ik dit aan mijn vader vertelde, zei hij, dat hij altijd had geleerd dat je alleen naar de laatste 2 cijfers hoefde te kijken
Dat was een openbaring voor om het volgende:
- Voor de tafel van 8 was ik met iets heel ingewikkelds bezig
Na mijn vaders antwoord wist ik het snelle antwoord: kijk alleen naar de laatste 3 cijfers
- Later kwam 11 erbij. Ook een lastige, maar wel aardig:
* neem de som van de oneven cijfers en de som van de even cijfers
* bepaal het verschil van de getallen: is dat 0 of een elfvoud? Dan is het getal deelbaar door 11
VOORBEELD: 192929
* Som oneven cijfers: 1+2+2=5
* Som even cijfers: 9+9+9=27
* Het verschil 27-5=22 is een 11-voud
* Conclusie: 192929 is deelbaar door 11
- Nog weer later kwam 7, dat is van een wat andere orde. Je moet wel alle 7-vouden onder de 1000 vlot herkennen
* Door gebruik te maken van het feit dat 999999 een 7-voud is, kun je getallen groter dan een miljoen onder de miljoen vereenvoudigen
1.011.129 vereenvoudigen we via 1 + 011.129 = 11.130
* Omdat ook 1001 een 7-voud is, kunnen we nu aftrekken:
11.130 wordt 130-11=119
* Zoals gezegd, je moet de 7-vouden onder de 1000 kennen. En inderdaad: 119 is deelbaar door 7
- Ik ben wel ooit begonnen aan 13, maar om de een of andere reden komt het niet van de grond.
Terwijl het bijna net zo is als 7: 1001 en 999999 zijn ook deelbaar door 13.
Om een of andere reden kan ik me er niet toe zetten de 13-vouden onder de 1000 uit mijn hoofd te leren. Het is geen verrassing, dat mijn eerste (ALGOL-)programmaatje ging over priemgetallen. Er zouden nog veel programma's volgen over priemgetallen, delers en factoren.
Dit programma heeft als insteek de jaartallen van mijn leven, dat is begonnen in 1958.
Het einde in 2048 staat uiteraard niet vast, maar dat is wel iets waar ik naartoe leef: 211!
Als ik op mijn sterfbed kan zeggen dat ik 2000 EN 2048 heb meegemaakt, dan zal ik tevreden zijn (al was het maar omdat ik dan de 90 gepasseerd ben). Enige hoogtepunten uit de lijst:
* 1980 en 2016 hebben 36 delers
* 9 getallen hebben maar 2 delers: de priemgetallen
Speciale aandacht is er voor het tweelingpriemgetal 1997 en 1999 (een tweelingpriemgetal zijn twee priemgetallen met een verschil van 2)
Een binnenkort is er weer een tweelingpriemgetal: 2027 en 2029
* Bijzonder is een kwadraat: 2025 = 452
Kwadraten herken je aan een oneven aantal delers, in dit geval 15
De basis vinden we bij getallen met maar één factor, zoals 32=25, dat 6 factoren heeft: 1=20 2=21 4=22 8=2 16=24 32=25
Het aantal factoren is dus 1 meer dan de exponent. Bij getallen met meerdere factoren is het aantal delers het product van alle exponenten-plus-één.
Voorbeeld: 60=22×3×5
Het aantal delers is dus: (2+1)×(1+1)×(1+1)=12 (Op het gevaar af als mansplainer te worden beschouwd: een ontbrekende exponent is 1) Ook aardig is, dat we op een andere manier kunnen aantonen, dat kwadraten een oneven aantal delers hebben.
We pakken ons oude voorbeeld er weer bij: 36=22×32
Het aantal factoren=(2+1)×(2+1)=9
Meer in het algemeen: het aantal factoren kan alleen maar oneven zijn als alle exponenten-plus-één oneven zijn.
En dat is alleen mogelijk als alle exponenten even zijn, precies de definitie van een kwadraat.
Daarna is geponeerd (maar niet bewezen), dat bij meerdere factoren het product van de exponenten-plus-één moet worden bepaald.
Nu wordt dit gegeven gebruikt om de delers te bepalen uit de ontbinding in factoren.
De overige hokjes bevatten het product van de getallen op de eerste rij en de eerste kolom.
En dan nu de delers van 60=22×3×5
Dat gaat in 2 delen, eerst 3×5:
Het resultaat wordt ingevuld in de eerste kolom, zodat alle 12 delers tevoorschijn komen:
- Elk antwoord in tafel van 2 eindigde op een even cijfer
- In de tafel van 5 was het nog strikter: alleen 0 en 5
- In de tafels van 3 en 9 moest je de cijfers optellen: de uitkomst was weer deelbaar door 3 en 9
- Voor de tafel van 4 had ik iets ingewikkelds bedacht:
* Eindigde het antwoord op 0, 4 of 8, dan was het voorlaatste cijfer even (of afwezig)
* Eindigde het antwoord op 2 of 6, dan was het voorlaatste cijfer oneven
Toen ik dit aan mijn vader vertelde, zei hij, dat hij altijd had geleerd dat je alleen naar de laatste 2 cijfers hoefde te kijken
Dat was een openbaring voor om het volgende:
- Voor de tafel van 8 was ik met iets heel ingewikkelds bezig
Na mijn vaders antwoord wist ik het snelle antwoord: kijk alleen naar de laatste 3 cijfers
- Later kwam 11 erbij. Ook een lastige, maar wel aardig:
* neem de som van de oneven cijfers en de som van de even cijfers
* bepaal het verschil van de getallen: is dat 0 of een elfvoud? Dan is het getal deelbaar door 11
VOORBEELD: 192929
* Som oneven cijfers: 1+2+2=5
* Som even cijfers: 9+9+9=27
* Het verschil 27-5=22 is een 11-voud
* Conclusie: 192929 is deelbaar door 11
- Nog weer later kwam 7, dat is van een wat andere orde. Je moet wel alle 7-vouden onder de 1000 vlot herkennen
* Door gebruik te maken van het feit dat 999999 een 7-voud is, kun je getallen groter dan een miljoen onder de miljoen vereenvoudigen
1.011.129 vereenvoudigen we via 1 + 011.129 = 11.130
* Omdat ook 1001 een 7-voud is, kunnen we nu aftrekken:
11.130 wordt 130-11=119
* Zoals gezegd, je moet de 7-vouden onder de 1000 kennen. En inderdaad: 119 is deelbaar door 7
- Ik ben wel ooit begonnen aan 13, maar om de een of andere reden komt het niet van de grond.
Terwijl het bijna net zo is als 7: 1001 en 999999 zijn ook deelbaar door 13.
Om een of andere reden kan ik me er niet toe zetten de 13-vouden onder de 1000 uit mijn hoofd te leren. Het is geen verrassing, dat mijn eerste (ALGOL-)programmaatje ging over priemgetallen. Er zouden nog veel programma's volgen over priemgetallen, delers en factoren.
Dit programma heeft als insteek de jaartallen van mijn leven, dat is begonnen in 1958.
Het einde in 2048 staat uiteraard niet vast, maar dat is wel iets waar ik naartoe leef: 211!
Als ik op mijn sterfbed kan zeggen dat ik 2000 EN 2048 heb meegemaakt, dan zal ik tevreden zijn (al was het maar omdat ik dan de 90 gepasseerd ben). Enige hoogtepunten uit de lijst:
* 1980 en 2016 hebben 36 delers
* 9 getallen hebben maar 2 delers: de priemgetallen
Speciale aandacht is er voor het tweelingpriemgetal 1997 en 1999 (een tweelingpriemgetal zijn twee priemgetallen met een verschil van 2)
Een binnenkort is er weer een tweelingpriemgetal: 2027 en 2029
* Bijzonder is een kwadraat: 2025 = 452
Kwadraten herken je aan een oneven aantal delers, in dit geval 15
Delers en wortel-N
- Het bepalen van delers is eigenlijk het maken van alle mogelijke keersommen met alleen natuurlijke getallen.
- Als voorbeeld nemen we 60, het kleinste getal dat deelbaar is door 1 t/m 6 EN het kleinste getal met 12 delers:
- 1×60
- 2×30
- 3×20
- 4×15
- 5×12
- 6×10
- 10×6
- 12×5
- 15×4
- 20×3
- 30×2
- 60×1
- We hebben nu de lijst met delers: 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60
- Verder valt op, dat we met de helft van de keersommen toekunnen. Vanaf nu tonen we geen sommen meer waarbij het eerste getal groter is dan het tweede:
- 1×60
- 2×30
- 3×20
- 4×15
- 5×12
- 6×10
- We vinden nog steeds de 12 delers met de helft van het aantal keersommen.
- Een belangrijk getal is wortel-60 oftewel :
- het eerste getal is niet groter dan wortel-60
- het tweede getal is niet kleiner dan wortel-60
- Je kunt het ook formuleren zonder wortel; ik gebruik beide definities door elkaar:
- het kwadraat van het eerste getal is niet groter dan 60
- het kwadraat het tweede getal is niet kleiner dan 60
- Wat opvalt is dat delers steeds paren zijn. Daarvan kun je gebruikmaken als je een computerprogramma maakt, maar ook als je ze met de hand wilt berekenen: je zoekt steeds de kleinste van het paar en vind er dan twee.
- Hier is het schema, uitgevoerd voor 60:
- Begin met 1
- Is 1×1=1>60? NEEN: ga door
- 60÷1=60 rest 0: omdat de rest 0 is, vinden we de delers 1 en 60
- Is 2×2=4>60? NEEN: ga door
- 60÷2=30 rest 0: delers 2 en 30 gevonden
- Is 3×3=9>60? NEEN: ga door
- 60÷3=20 rest 0: delers 3 en 20 gevonden
- Is 4×4=16>60? NEEN: ga door
- 60÷4=15 rest 0: delers 4 en 15 gevonden
- Is 5×5=25>60? NEEN: ga door
- 60÷5=12 rest 0: delers 5 en 12 gevonden
- Is 6×6=36>60? NEEN: ga door
- 60÷6=10 rest 0: delers 6 en 10 gevonden
- Is 7×7=49>60? NEEN: ga door
- 60÷7=8 rest 4: geen delers gevonden, want de rest is ongelijk aan 0
- Is 8×8=64>60? JA: Klaar!
- Omdat delers per paar worden gevonden, zou je verwachten dat getallen altijd even aantal delers hebben.
- Maar hier is een voorbeeld van een oneven aantal delers: 36 is het kleinste getal met 9 delers: 1 2 3 4 6 9 12 18 36.
- Hier zijn de keersommen:
- 1×36
- 2×18
- 3×12
- 4×9
- 6×6: deze keersom bevat maar één deler van 36
- Ter slotte: Ieder getal N heeft de keersom 1×N.
- Het kan zijn dat dat de enige keersom is. Dan zijn er twee mogelijkheden
- N=1: in dat geval is er één deler, wederom 1. Merk op dat dit een kwadraat is.
- N>1: nu zijn er 2 delers: 1 en N. We hebben een priemgetal gevonden.
Ontbinden in factoren
- Ontbinden in factoren wil zeggen, dat het getal wordt geschreven als het product van een aantal priemgetallen.
- Het schema om die factoren te bepalen, lijkt wel wat op het schema voor delers, maar is net anders.
- Als voorbeeld vind je hier het schema voor de factoren van 60.
- Begin met 2
- Is 2×2=4>60? NEEN: ga door
- 60÷2=30 rest 0: Gevonden factor 2 en door met de factoren van 30
- Is 2×2=4>30? NEEN: ga door
- 30÷2=15 rest 0: Gevonden factor 2 en door met de factoren van 15
- Is 2×2=4>15? NEEN: ga door
- 15÷2=7 rest 1: omdat rest>1 blijven we zoeken naar delers van 15, maar we verhogen 2 naar 3
- Is 3×3=9>15? NEEN: ga door
- 15÷3=5 rest 0: Gevonden factor 3 en door met de factoren van 5
- Is 3×3=9>5? JAZEKER; dat betekent dat 5 een priemgetal is daarmee onze laatste factor
Aantal delers bepalen uit factoren
Als een getal is ontbonden in factoren, dat kun je het aantal delers bepalen zonder dat je de delers zelf bepaalt.De basis vinden we bij getallen met maar één factor, zoals 32=25, dat 6 factoren heeft: 1=20 2=21 4=22 8=2
Het aantal factoren is dus 1 meer dan de exponent. Bij getallen met meerdere factoren is het aantal delers het product van alle exponenten-plus-één.
Voorbeeld: 60=22×3×5
Het aantal delers is dus: (2+1)×(1+1)×(1+1)=12 (Op het gevaar af als mansplainer te worden beschouwd: een ontbrekende exponent is 1) Ook aardig is, dat we op een andere manier kunnen aantonen, dat kwadraten een oneven aantal delers hebben.
We pakken ons oude voorbeeld er weer bij: 36=22×32
Het aantal factoren=(2+1)×(2+1)=9
Meer in het algemeen: het aantal factoren kan alleen maar oneven zijn als alle exponenten-plus-één oneven zijn.
En dat is alleen mogelijk als alle exponenten even zijn, precies de definitie van een kwadraat.
Delers bepalen uit factoren
In het vorige hoofdstuk hebben we gezien hoe je de (N+1) factoren bepaalt van een priemgetal-tot-de-macht-N.Daarna is geponeerd (maar niet bewezen), dat bij meerdere factoren het product van de exponenten-plus-één moet worden bepaald.
Nu wordt dit gegeven gebruikt om de delers te bepalen uit de ontbinding in factoren.
- We beginnen met de factoren van 36=22×32
- Eerst de delers per priemgetal
- 4=22 heeft als delers: 1=20 2=21 4=22
- 9=32 heeft als delers: 1=30 3=31 9=32
- De delers van 36 zijn de alle 3×3 producten van deze delers:
- 1×1=1
- 2×1=2
- 4×1=4
- 1×3=3
- 2×3=6
- 4×3=12
- 1×9=9
- 2×9=18
- 4×9=36
De overige hokjes bevatten het product van de getallen op de eerste rij en de eerste kolom.
| 1 | 2 | 4 |
| 3 | 6 | 12 |
| 9 | 18 | 36 |
Dat gaat in 2 delen, eerst 3×5:
| 1 | 3 |
| 5 | 15 |
| 1 | 2 | 4 |
| 3 | 6 | 12 |
| 5 | 10 | 20 |
| 15 | 30 | 60 |
Reacties
Een reactie posten