Pythagoreïsche drietallen

De stelling van Pythagoras blijft de mooiste stelling uit de wiskunde. Er zijn slechts 2 formules die zelfs de meest geharde alfa kent (maar niet noodzakelijkerwijs begrijpt):

• a²+b²=c², de stelling van Pythagoras
• E=mc², de massa-energierelatie van Einstein

Aan de hand van de stelling van Pythagoras kun je op zoek naar drietallen gehele positieve getallen die aan de stelling voldoen, de zogenaamde Pythagoreïsche drietallen. Het bekendste drietal is (3,4,5).

Het zoeken naar Pythagoreïsche drietallen lijkt een lastige klus, maar met een simpele formule blijkt het heel eenvoudig: selecteer 2 verschillende positieve gehele getallen en zorg ervoor dat hun grootste gemene deler (ggd) gelijk is aan 1. Er zijn nu twee mogelijkheden.

In het eerste geval is een van de getallen even en het andere oneven. We noemen de kleinste p en de grootste q.

• d=q²-p²
  
• e=2pq
• h=p²+q²
  

Zoals je ziet hebben we de zijden hernoemd. Rechthoekszijde d (oDD) is altijd oneven en rechthoekszijde e (EvEn) is altijd even. De schuine zijde heet ook wel hypothenusa, vandaar dus h.
De grootste gemene deler van d, e en h is 1, een eis die niet geldt voor a, b en c.

Nu de tweede manier om 2 getallen te kiezen met een ggd gelijk aan 1: 2 oneven getallen. We noemen zie s en t met s<t. De formules worden net even anders:

• d=st
• e=(t²-s²)/2
• h=(s²+t²)/2

De relatie tussen p en q enerzijds en s en t anderzijds is als volgt:
- s=q-p , t=p+q
- p=(t-s)/2 , q=(s+t)/2

Hieronder kun je de kleine en grootste waarde van q of t opgeven. Alle mogelijke waarden van p of s worden dan doorgerekend.

Er nog wel iets wat enige uitleg behoeft en dat zijn de cursieve waarden in onderstaande tabel.
Bij het opbouwen van de tabel stuit je op waarden waar ggd(p,q) en ggd(s,t) groter zijn dan 1 (wel altijd een oneven getal!). Die had ik er natuurlijk uit kunnen laten...

MAAR ik had net een formule gevonden om iedere pq- en st-combinatie een uniek volgnummer te geven.
Het verwijderen van de combinaties met ggd>1 zou gaten slaan in de nummering, die niet eenvoudig te dichten zijn.

Dus heb ik gekozen voor de volgende oplossing:
- De regels met de ggd>1 worden wel getoond, maar dan cursief
- Er wordt een tweede regel getoond, waarin p en q danwel s en t worden gedeeld door de ggd. Er ontstaat dan een eerder gevonden combinatie.

Klik hier voor een artikel met meer achtergrondinformatie

Klik hier voor een artikel met meer achtergrondinformatie op pq# en st#

Kleinste ?
Grootste ?
pq?	st?
Som en verschil d en e?

HALLO, DAAR ZIJN WE WEER